/ Сопротивление материалов онлайн/ 1 комментариев

Расчёт балки на изгиб

  • Расчет балки на изгиб
  • Прочность и жесткость балки при изгибе и построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
  • Задачи на изгиб с решением и построением эпюр
  • Последовательность расчета балки на изгиб
  • Метод сечений при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Такие вопросы мы сегодня рассмотрим на этой страничке. Здесь есть видео урок на эту тему и описание к данной теме. Итак, поехали!


видео урок: расчет балки на изгиб, построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Гипотезы и определения при изгибе

Прежде всего начнем с определений:

Что такое балка? Балка — это стержень, длина которого значительно больше чем ширина и высота. При этом он испытывает деформацию изгиба.

что такое балка?
балка — длина значительно больше ширины и высоты

Изгиб, что это? Это такой вид деформации, при котором происходит искривление продольной оси балки, но продольные волокна друг на друга не давят, а сечения плоские до изгиба остаются такими и после изгиба.

рисунок деформации изгиба, сжатые волокна, растянутые волокна и нейтральный слой
деформация изгиба: гипотезы и допущения

На рисунке выше изображена схема для вывода формулы напряжений и демонстрация напряжений, которые возникают при чистом изгибе. Этот термин придется изложить в другой статье. А пока продолжим.


Эпюра — это график изменения величины, для которой он построен. Так эпюра изгибающего момента — это график изменения внутреннего усилия — изгибающего момента по длине балки. Используя этот график, построенный в масштабе, можно с помощь простых операций определить значение изгибающего момента в любой точке по длине балки. Эпюра внутреннего усилия — поперечная сила — аналогично, график ее изменения по длине балки.

Построение эпюр при изгибе

Приступим к построению эпюр при изгибе.

Для простоты, возьмем балку защемленную с одной стороны и свободным краем балки с другой стороны (про виды опор и опорные реакции видео урок, а текст напишу чуть позже). Почему так проще? Потому, что при таком способе закрепления не придется определять опорные реакции. Не будет такой необходимости. Дальше будет понятно почему.

сила, изгибающий момент, консоль
консольная балка, испытывающая изгиб

На рисунке изображена одна продольная ось, а поперечное сечение не изображается. Что эта за ось? Это та ось, на которой не будет деформаций (нейтральный слой, выше на рисунке). Для сечений, которые простой формы, типа круг, квадрат, прямоугольник, двутавр или сложных составных форм — эта линия всегда проходит через главные центральные оси (опять же пока видео урок «моменты инерции«, а позже статью напишу). Чтобы построить эпюры достаточно и этого.

исходная схема консольной балки при расчете на изгиб
для расчета балки на изгиб берем такую исходную схему

Итак, со схемой для расчета определились теперь перейдем непосредственно к самому расчету.

Первый вопрос расчета, что мы хотим найти?
Построить эпюры изгибающего момента и поперечной силы.
А что это такое?
Это внутренние усилия, возникающие при деформации изгиба.
Как мы поступаем когда нам нужно заглянуть внутрь, чтобы найти внутренние усилия?
Мы делаем сечение и рассматриваем равновесие отсеченной части.

Покажем сечение на балке и дадим к нему некоторые пояснения:

Метод сечений при изгибе

демонстрация сечения балки для расчета
балка, сила на консоли и проведено сечение на расстоянии x

Обычно эта схема рисуется одним цветом, но чтобы в тексте было проще описывать — я разделил на три цвета.

Начало координат оси берем под силой F. Т.е. под этой силой  x =0. Положительное направление оси здесь удобно брать влево, в сторону где расположена остальная часть балки. Соответственно
x изменяется от нуля до полной длины балки. Только в этих пределах балка существует.

Сечение, которое обозначено на схеме «ядовито зеленым цветом» 😉 — может перемещаться, т.к. расстояние до него равно x . Соответственно может быть в начале координат, а может быть в конце ну и в промежутке тоже. Нам нужно это понимать, чтобы зависимость для внутренних усилий построить с учетом этого перемещения. Не для конкретного положения сечение, а для любого положения по всей длине балки.

Отсеченную часть рассмотрим отдельно. Запишем условия равновесия для нее. В этом и заключается метод сечений — отсечь, посмотреть на внутренние усилия и найти их из условий равновесия.

сечение балки, схема получения внутренних усилий
сечение балки без внутренних усилий

На рисунке мы видим отсеченную часть. При этом сам x меняется слева на право от нуля до l. 0 ≤ x ≤ l

При таком приложении нагрузки, если других сил на эту часть, кроме силы F, действовать не будет — то этот кусочек балки будет падать вниз, при этом вращаться и перемещаться поступательно. Т.е. совершать плоскопараллельное движение.

падение сечения балки без внутренних усилий М(x) и Q(x)
плоскопараллельное перемещение сечения балки, при отсутствии внутренних усилий

Логично предположить, что в реальной конструкции, по сравнению с отсеченной частью что-то эту часть балки «держит», не позволяет «падать». Это и есть силы взаимодействия на межатомном уровне и если их интегрально представлять — внутренние усилия. Значит одно должно удерживать поступательное перемещение вниз, а второе должно удерживать вращательное движение. Поступательное движение вызывает, а значит и может «остановить» — сила, а вращательное — момент. Вот эти усилия нас и интересуют. Внутренние усилия изгибающий момент M(x) и поперечная сила Q(x).

Изобразим их в нашем сечении:

внутренние усилия на балке, демонстрация знаков
Внутренние усилия на отсеченной части балки

Направление внутренних усилий на рисунке выбрано в соответствии с правилом знаков.

Правило знаков для внутренних усилий при изгибе

рис правило знаков для моментов и поперечных сил
правило знаков изгибающих моментов и поперечных сил для построения эпюр

А теперь нарисуем, что получилось, немного упростив

правило знаков для изгибающего момента, позитивный смайлик
правило знаков для изгибающего момента: положительный изгибающего момент — растянутые волокна снизу

Неправда ли, похож на улыбающийся смайлик — это правило знаков для положительного направления изгибающего момента для расчета балки на изгиб. Т.е. любое усилие, вызывающее изгиб балки таким образом, что балка изгибается выпуклостью вниз (веселый смайлик), т.е. растянутые волокна находятся внизу — это будет положительный момент.

Если же смайлик, под действием внешних сил, окажется грустным, как здесь, ниже:

рис. отрицательный момент, правило знаков, грустный смайлик
правило знаков для момента: отрицательный изгибающий момент — растянутые волокна сверху

Такие внешние усилия вызывают деформацию изгиба так, что растянутые волокна вверху — это будут изгибающие моменты со знаком минус.

Но пойдем дальше. Ведь наша цель расчет на прочность балки, а не правило знаков при изгибе.

Нами было получено сечение, в котором действуют как внешние, так и внутренние усилия, которые определяют прочность.

Запись выражений Q(x) и M(x)

Осталось записать внутренние усилия в виде зависимости изгибающего момента М(x) и поперечной силы Q(x). Рисунок, на котором видны эти внутренние усилия мы уже приводили:

внутренние усилия Q(x) и M(x)
Q(x) и M(x) слева от сечения, это внутренние усилия

Для определения поперечной силы будем использовать сумму проекций на вертикальную ось, а для определения момента возьмем момент относительно точки С.

Так будем всегда поступать при определении изгибающего момента при расчете балки на изгиб. Таким образом мы исключим из этого уравнения момент от Q(x). Связано это с тем, что плечо от Q(x) до точки C равно нулю, потому и момент будет ноль от этой силы.

оси и плечи момента на рисунке для определения внутренних усилий при изгибе
расположение осей, точек сечения и плечей момента при определении внутренних усилий при изгибе

сумма проекций на вертикальную ось:

0 ≤ x ≤ l

Σ Oy: Q(x) — F = 0; ⇒ Q(x) = F;

сумма моментов относительно точки С:

Σ МС: -F · x — M(x) = 0; ⇒ M(x) = -F · x ;

Как видно из окончательных выражений мы получили уравнения для двух прямых линий. Первая — параллельна оси х на расстоянии F от нуля. И вторая обычная прямая линия. Почему я так говорю? А потому что первая линия в школе записывалась в виде уравнения:

y = a

А вторая записывалась:

y = k x

На графике же это выглядит так:

график прямых линий
график для прямых линий с уравнениями y = a и y = k x

Таким образом для построения прямых линий достаточно найти на координатных осях две точки и провести прямые линии под линейку. При построении эпюр моментов и поперечных сил принято брать крайние точки, т.е. точки начала и конца участка этих линий.

Поэтому подставляем из пределов существования 0 ≤ x ≤ l сначала 0, а затем l .

Q(x=0) = F; ⇒ Q(x= l ) = F;

M(x = 0) = -F · 0 = 0 ; ⇒ M(x = l ) = -F · l ;

Полученные значения изгибающего момента и поперечной силы в двух сечениях (при положении x=0 и x=l) откладываем соответствующие ординаты, т.е. буквально строим графики обеих функций.

Тема еще не закончена, продолжение будет в ближайшие дни.

Share this Post

Об Александр Заболотный

Асистент кафедры Строительная механика с 1998 года по 2012 года, старший научный сотрудник с 1998 по 2017 года. Фрилансер с 2012 года. Преподаю онлайн сопротивление материалов и строительную механику с 2015 года. Люблю когда студенты получают во время занятия информацию, которая именно им нужна, что позволяет сосредоточиться на трудностях именно того человека, с которым ведешь занятие с глазу на глаз. Сопротивление материалов, как и строительная механика требуют две вещи: - качественное преподавание - самостоятельное решение задач, опираясь на примеры, решенные он-лайн Короче: домашние задания это обязательное условие успешного перехода от сопромата для чайников на следующий уровень, где Вы будете профессионально решать задачи по сопротивлению материалов и строительной механике! Обращайтесь - научу! Сопромат - это легко, с Александром Заболотным. Пишите: - в комментариях - на скайп - zabolotnyiAN - почту - zabolotnyiAN@gmail.com Первая консультация бесплатно! Обучиться сопромату онлайн или строймеху онлайн - Легко! Просто спроси!